一直在看Coursera上宾夕法尼亚大学的微积分课。前两天才看到Discrete Calculus那一节,发现非常有趣,对于探讨函数和数列的一些内在联系非常有启发性,此文略记一二。
囿于作者的数学能力,此文只需高中数学水平就能看懂。 首先,我们都知道数列可以看成是定义在自然数集上的特殊函数。 重新审视微分或求导的定义, 不难发现,如果要把相似的概念应用到数列之中,由于连续变成步长为1的离散,我们不需要取极限,只需要令 ,就有了差分运算: 正如微分可以用来探讨函数的单调性,差分可以用来探讨数列的单调性。在高中数学中其实经常这么干。显然在某一区间上,若 数列递增,数列递减,当然要对端点处值略加注意。同时,正如微分也可以用来找函数的极大值和极小值,差分亦可用来找数列的极大值和极小值点,那自然是和符号发生改变处(含0)。这都是显而易见的,所以不作严格的论证。 正如积分是微分的逆运算,求和是差分的逆运算。不难发现, 需要注意的只是一点求值界限的移动,从微积分里面的变成了。 这结论能简单地揭示“裂项求和”的本质,那就是,对于一个待求和的数列,我们将它写成的形式(裂项的形式),就一定能容易地得到求和的结果。 给个例子。如果 要对之求和,则是先对进行代数变形, 不难发现应当取 就有 就是答案。 在微积分的世界中,我们有一些美好的微分公式。比如,对于多项式,我们有 在离散数学的世界中,不存在这一简洁的关系。但是,如果定义 称为 falling factorial. 注意这还是一个关于的次多项式。那么存在 依然非常优雅。 以此可以简单地推出相应的求和公式,即 一个例子是 这样,所有难度其实都集中在 falling factorial 和一般的多项式的代数互化上了。 对于指数函数,我们有微分公式: 相应地,对于等比数列,我们有差分公式: 原来都是给自己乘个常数! 我们关注这常数是1的情形。那么对于数列来说,。对于指数函数来说,。似乎在离散的世界中,变成了2. 我们还知道Product Rule 对应的差分公式有 这证明是非常容易的。但是,记得分部积分吗?正是从微分乘法公式推导而来的: 相应地,我们有 正如我们会用分部积分求,我们用上面这公式去求 令 ,,那么, ,得到 最后放两个参考链接: