Yuhang's Blog

一篇简短的离散微积分

2020-03-04 Mathematics

一直在看Coursera上宾夕法尼亚大学的微积分课。前两天才看到Discrete Calculus那一节,发现非常有趣,对于探讨函数和数列的一些内在联系非常有启发性,此文略记一二。

囿于作者的数学能力,此文只需高中数学水平就能看懂。 首先,我们都知道数列可以看成是定义在自然数集上的特殊函数。 重新审视微分或求导的定义, ddxf(x)=limh0f(x+h)f(x)h 不难发现,如果要把相似的概念应用到数列之中,由于连续变成步长为1的离散,我们不需要取极限,只需要令 h=1 ,就有了差分运算: Δan=an+1an 正如微分可以用来探讨函数的单调性,差分可以用来探讨数列的单调性。在高中数学中其实经常这么干。显然在某一区间上,若 Δan0 数列递增,Δan0数列递减,当然要对端点处值略加注意。同时,正如微分也可以用来找函数的极大值和极小值,差分亦可用来找数列的极大值和极小值点,那自然是ΔanΔan1符号发生改变处(含0)。这都是显而易见的,所以不作严格的论证。 正如积分是微分的逆运算,求和是差分的逆运算。不难发现, n=ABΔan=n=ABan+1an=aB+1aA=an|AB+1 需要注意的只是一点求值界限的移动,从微积分里面的B变成了B+1。 这结论能简单地揭示“裂项求和”的本质,那就是,对于一个待求和的数列bn,我们将它写成Δan的形式(裂项的形式),就一定能容易地得到求和的结果。 给个例子。如果 bn=1n2+3n+2 要对之求和,则是先对bn进行代数变形, bn=1n2+3n+2=(n+2)(n+1)(n+2)(n+1)=1n+11n+2 不难发现应当取 an=1n+1 就有 n=1kbn=n=1kΔan=an|1k+1=1k+2+12 就是答案。 在微积分的世界中,我们有一些美好的微分公式。比如,对于多项式,我们有 ddxxn=nxn1 在离散数学的世界中,不存在这一简洁的关系。但是,如果定义 nm=n(n1)(n2)(nm+1) 称为 falling factorial. 注意这还是一个关于nm次多项式。那么存在 Δnm=mnm1 依然非常优雅。 以此可以简单地推出相应的求和公式,即 n=1knm=nm+1m+1|1k+1 一个例子是 n=1kn2=n=1kn2+n1 =n33+n22|1k+1 =(k+1)k(k1)3+(k+1)k2 =(k+1)k(2k+1)6 这样,所有难度其实都集中在 falling factorial 和一般的多项式的代数互化上了。 对于指数函数,我们有微分公式: ddxax=axlna 相应地,对于等比数列,我们有差分公式: Δqn=(q1)qn 原来都是给自己乘个常数! 我们关注这常数是1的情形。那么对于数列来说,q=2。对于指数函数来说,a=e。似乎在离散的世界中,e变成了2. 我们还知道Product Rule (fg)=fg+fg 对应的差分公式有 Δ(anbn)=(Δan)bn+1+(Δbn)an=(Δbn)an+1+(Δan)bn 这证明是非常容易的。但是,记得分部积分吗?正是从微分乘法公式推导而来的: udv=uvvdu 相应地,我们有 n=ABan(Δbn)=anbn|AB+1n=AB(Δan)bn+1 正如我们会用分部积分求xex,我们用上面这公式去求 n=1kn2nan=nΔbn=2n,那么Δan=1, bn=2n,得到 n=1kn2n=n2n|1k+1n=1k2n+1=(k+1)2k+12(2k+24)=(k1)2k+1+2 最后放两个参考链接: